С.Н. Неъматзода, Н.Н. Назрублоев

Аннотация: 

В данной работе рассматриваются этапы исследования распределения дробных частей значений многочленов, аргументы которых принимают значения из коротких интервалов. Основное внимание уделяется методам аналитической теории чисел, связанным с оценками тригонометрических сумм, начиная с классических результатов Гаусса и Вейля и заканчивая современными исследованиями. Показано, что ключевым инструментом исследования распределения дробных частей значений различных многочленов, аргументы которых принимают значения из коротких интервалов, является метод тригонометрических сумм, позволяющий получать нетривиальные оценки и устанавливать равномерное распределение последовательностей по модулю единицы. Рассмотрены оценки рациональных и иррациональных тригонометрических сумм, включая результаты Морделла, Вейля, Хуа Ло-кэна и Виноградова. Особое внимание уделено коротким тригонометрическим суммам Вейля и их роли в исследовании поведения многочленов на коротких интервалах. Приведены результаты таджикских ученых, в частности работы З.Х. Рахмонова, Н.Б. Озодбековой, С.Н. Исматова, Ф.З. Рахмонова, посвященные оценкам коротких сумм и их применению к задачам равномерного распределения. Полученные результаты демонстрируют значительный прогресс в развитии методов аналитической теории чисел и их применении к задачам распределения. Работа подтверждает важность тригонометрических сумм как универсального инструмента в современной теории чисел.

Ключевые слова: равномерное распределение, дробные части, тригонометрические суммы, суммы Вейля, суммы Гаусса, короткие интервалы, асимптотическая формула, простые числа.